一つの数式が、世界を貫く
前レッスンで、モデルとは現実を単純化した「数式の地図」だと学びました。このレッスンでは、最も基本的で、最も強力なモデルのパターン——成長と減衰を見ます。驚くべきことに、同じ一つの数式が、まったく異なる現象を説明することがあります。感染症の広がりも、銀行預金の複利も、人口の増加も、実は、似た数式で捉えられるのです。この「分野を超えた共通性」こそ、数理モデルの、最も美しく、最も実用的な力です。前に指数的な変化で学んだことを、モデルという角度から、捉え直しましょう。
指数的な成長——雪だるま式
まず、最も重要なパターン、指数的な成長です。前にも触れましたが、モデルの視点で、改めて捉えましょう。指数的な成長の特徴は、増える量が、その時点の量に比例することです。
言い換えると、大きくなるほど、増えるペースも速くなる。だから、雪だるま式に、急激に増えていきます。
- 感染症の初期:一人が二人に、二人が四人に、四人が八人に……。感染者が増えるほど、新たに感染させる数も増える
- 複利の預金:お金が増えるほど、それにつく利子も増える。前に投資で見た、複利の力です
- 人口の増加:人が増えるほど、生まれる子どもの数も増える
これらは、見かけはまったく違う現象です。しかし、その増え方の仕組み——「今ある量に比例して増える」——は、共通しています。だから、同じ数式のモデルで、捉えられるのです。
指数的な成長の、最も重要な教訓は、前にも強調したように、最初はゆっくりに見えても、後で爆発的に増えることです。人間の直感は、この爆発的な増加を、過小評価しがちです。感染の初期に「まだ大したことない」と油断すると、あっという間に手に負えなくなる——これは、指数的成長モデルの、警告です。モデルを理解する人は、この危険を、早い段階で見抜けます。
減衰と、限界のあるモデル
成長だけでなく、減衰(減っていくこと)も、モデルで捉えられます。そして、多くの減衰も、成長と同じ「今ある量に比例する」という仕組みを持ちます。「量が多いほど、減る量も多い」——最初は速く減り、だんだんゆっくりになる。冷めていくお茶の温度や、放射性物質の減り方など、多くの現象が、この形をとります。
さらに、現実的なモデルでは、成長に限界があることも、表現できます。指数的な成長は、現実には、永遠には続きません。
- 感染症は、感染していない人が減れば、広がりが鈍る
- 生物の個体数は、食料や環境の限界で、頭打ちになる
- 新技術の普及も、行き渡れば、飽和する
こうした「最初は指数的に増えるが、やがて限界に近づいて頭打ちになる」パターンは、S字型の曲線を描きます。これも、少し工夫した数式のモデルで、うまく表現できます。感染症の流行が、増えて、ピークを迎え、収まっていく——その全体像を、モデルは捉えられるのです。現実の成長は、たいてい、無限ではなく、どこかに限界がある。モデルは、その限界も含めて、現象を描き出せるのです。
共通のパターンを、見つける力
このレッスンで見た、最も大切なことは、数理モデルが、分野を超えて、共通のパターンを見つける力を持つ、ということです。
感染症、経済、人口、物理——これらは、別々の分野です。しかし、その背後にある「増え方・減り方の仕組み」に注目すると、同じ数学的なパターンが、繰り返し現れます。だから、一つのモデルを理解すれば、それを、まったく別の分野に応用できるのです。指数的成長を、複利で理解した人は、感染症の広がりも、直感的に分かる。これは、前にシステム思考で見たフィードバックや、複雑系で見た創発と同じ、世界を貫く共通の構造を捉える視点です。
数理モデルの、この抽象化の力は、科学の大きな武器です。個別の現象に、いちいち別々の理論を作るのではなく、共通のパターンを見つけて、まとめて理解する。世界は、一見バラバラに見えて、実は、同じ数学的なパターンが、あちこちで繰り返されている——モデルは、その隠れた秩序を、私たちに見せてくれるのです。
ニュースで使う視点
感染症の予測、経済成長、人口推計、技術の普及——成長や減衰に関わるニュースに触れるときは、「これは、どんな増え方(減り方)のパターンか」「指数的なら、爆発的な増加を過小評価していないか」を考えてみてください。成長のモデルを理解する目は、様々な分野の予測を、共通の視点で読み解く力になります。次のレッスンでは、つながりと拡散を扱うモデルを見ます。